面積分

面積分とは

ある曲面S上で定義されるスカラー場Fに対し、

をFのS上での面積分といいます。 ここで、dSはS上の微小面積素です。 曲面Sが閉曲面の場合、

と書きます。

ベクトル場の面積分

ベクトル場Fを考えます。 曲面Sの単位法線ベクトルをnとすると F・nはスカラー場となります。 これをFとおいて面積分すると、

となります。 ここで、dS = ndSとおくと上の式は

となります。 このdSを面積素ベクトルといいます。

物理学ではこのように曲面を貫くベクトル場の法線方向成分のみが問題となる場合が多いので、 ∫

S

F・dSという形の式を、 単にベクトル場Fの曲面S上での面積分ということもあります。

面積分の直交座標系での表現

曲面S上の点rは媒介変数を持ちいてr(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))と言う風に表されます。ここで、uがごく小さい値duだけ変化したとき、rは

だけ変化します。同様にvがdvだけ変化したとき、rは

だけ変化します。 このとき、

∂r

∂u

duおよび

∂r

∂v

dvはSの接ベクトルになっています。

左図のように

∂r

∂u

duおよび

∂r

∂v

dvはSとdS, nの間には

という関係があります。よってdSは、

となります。

ここで

∂r

∂u

×

∂r

∂v

を座標成分ごとにあらわすと

となることと、

であることから、結局dSは

と表すことができます。 よって、F=(F_x,F_y,F_z)とおくと、 線積分は

となります。