勾配とはスカラー場φに対して、φがもっととも大きく変化する方向を向き、その変化量と同じ大きさを持つベクトルで、gradφと表します。φを標高に例えて、ある点にボールを置いたときに自然に転がりだす方向を向き、その坂の傾きと同じ大きさを持つベクトルをφの勾配というわけです。
すなわち、ある点Pにおけるスカラー場φの勾配gradφとは、任意の方向nに対し、その方向を向く単位ベクトルをin、その方向への方向微分をとすると、nの向きによらず常に
が成り立つベクトルです。
また、gradφは∇φとも書きます。
これだけでは分かりにくいでしょうからもう少し直感的な勾配の意味を言うと、
勾配とは線積分（
「線積分とは」
参照）の逆演算で、直行座標を用いてあらわすと
と言う形になります。
∇φという書き方をするのは、ナブラベクトル∇ = (,,)とφの積(,,)が勾配となるからです。
φは位置rに関するスカラー場で、
ある経路上での位置は媒介変数tを用いてあらわされているものとします。
すなわち、
φ = φ(r), r = (x(t),y(t),z(t))
がなりたつと仮定します。このとき、φを媒介変数tに関して微分すると、
全微分の公式から
よって
ここで、∇φ = (,,)とおくと、
dφ = ∇φ・dr
となります。
上式を始点P、終点Qの経路Cに沿って線積分することを考えます。
上式のrをC上の点と考えると、
dl = drとなるので、
要するに、勾配とは線積分の逆演算なわけです。
ベクトルFに対して、−∇φ = FとなるようなスカラーφをFのスカラーポテンシャルといいます。
しかし、勾配と線積分の関係から
となるわけで、Fのスカラーポテンシャルが存在するためには、
Fの線積分が経路Cによらずその始点と終点だけで一意に決まる必要があります。
詳しくは
「回転とは」
で説明しますが、このための必要十分条件は∇×F = 0です。
すなわち、
∇×F = 0ならばF = −∇φとなるスカラー場φが存在して、これをFのスカラーポテンシャルといいます。
ちなみに、∇×F = 0を満たすようなベクトル場を「保存場」といいます。また、回転が0という意味で「渦のない場」ということもあります。保存場というのは、エネルギー保存則が成り立つ場という意味で、重力場や静電場みたいな場のことです。