保存場とソレノイダル場

回転が0のベクトル場を保存場といい、発散が0のベクトル場をソレノイダル場といいます。

回転が0のベクトル場を保存場と呼ぶのは、閉路上の線積分が必ず0になり、エネルギー保存則が成り立つからです。また、発散が0のベクトル場をソレノイダル場と呼ぶのは、ベクトル場の流線が渦を巻いたような形状をしているからです。以下に保存場およびソレノイダル場の特徴を挙げます。

保存場

ソレノイダル場

∇×F = 0 (回転が常に0)

∇・F = 0 (発散が常に0)

任意の閉路Cに対して∮

F・dl = 0 （閉路上の線積分が常に0)

任意の閉曲面Sに対して∮

F・dS = 0 (平曲面を貫く流束が常に0)

線積分の値は経路によらず、その始点と終点のみによって決まる

面積分の値は曲面の取り方によらず、曲面の外周の形状のみによって決まる

−∇φ = Fとなるスカラー場(スカラーポテンシャル)が必ず存在する

∇×A = Fとなるベクトル場A(ベクトルポテンシャル)が必ず存在する

ちなみに、任意のベクトル場は発散が0の部分と回転が0の部分に分割することが出来ます。すなわち、任意のベクトル場Fは ∇×F₁ = 0を満たすベクトル場F₁と、∇・F₂ = 0を満たすベクトル場F₂を用いて

F = F₁ + F₂

と言う風に分割できます。これは言い換えると、Fはあるスカラー場φとあるベクトル場Aを用いて、

F = −∇φ + ∇×A

とあらわすことが出来るということです。