自然数全体の集合は、最小の無限集合として定義されます。
集合論では、0 も自然数に含まれるものとします。
また、自然数全体の集合をωを使って表します。
「対」
で説明しましたが、空集合 φ とそのシングルトン {φ} は別の集合になります。
さらに、φ と {φ} を使って対
{φ, {φ}} を作ると、
φ とも {φ} とも異なる集合が出来ます。
この要領で、集合 x に対して、
x＋ ＝ x ∪ {x}
という集合を作れば、x とは異なる集合を作ることが出来ます。
この x＋ という集合を x の後継ぎ（successor）といいます。
自然数（natural number）は、この後継ぎを使って定義していきます。
空集合 φ を 0 と考え、
次々と後継ぎを作ることで、1, 2, 3, 4, … などを定義していきます。
0 ＝ φ
1 ＝ 0＋ ＝ φ∪{φ} ＝ {φ}
2 ＝ 1＋ ＝ 1∪{1} ＝ {0, 1} ＝ {φ, {φ}}
3 ＝ 2＋ ＝ 2∪{2} ＝ {0, 1, 2}
4 ＝ 3＋ ＝ 3∪{3} ＝ {0, 1, 2, 3}
こうして自然数を集合論的に構築していくことが出来るわけですが、
いくつが問題があります。
自然数全体を集めたものは集合になるかどうか、
また、そのような集合はただ1つに確定するかどうかという問題です。
まず最初の問題、「自然数全体を集めたものは集合になるかどうか」ですが、
これは無限集合の公理によって解決します。
∃a[φ∈a ∧ ∀x(x∈a ⇒ x＋∈a)]
この公理により、後継ぎを使って無限に新しい元を作った物が集合になることが保証されます。
「無限」というのがどういうことなのか、ここでは詳しく述べませんが、
直感的にこれが無限に多くの元を含むことは分かると思います。
ここでは、この公理を満たす集合 a を無限集合と呼ぶことにします。
（単に「元の数が無限となる（自然数全体と同じか、より大きい濃度を持つ）集合」も無限集合と呼びます。これと区別するために、無限公理を満たすような集合のことを無限系譜と言って区別している教科書もあります。）
「自然数全体」というのも無限集合の一種になりますから、
これでとりあえず「自然数全体」というのが集合になることは言えます。
しかし、無限公理を満たすような無限集合は1つとは限りません。
したがって、これを「自然数全体の集合」の定義にすることは出来ません。
自然数の定義の仕方ですが、概念的な言い方をするならば「最小の無限集合（無限系譜）」として定義します。ちゃんとした手順を述べると、以下のような定義の仕方をします。
まず、何でもいいので1つ無限集合 a を選びます。
また、「x は無限集合である」という命題を M(x) とし、
以下のような集合 a を作ります。
a ＝
{x ∈P(a) | M(x)}
P(a) は a の冪集合です。
すなわち、a は a の部分集合のうち、無限集合になるようなもの全てを集めた集合です。
そして、a の全ての元の共通部分を取ります。
ωa ＝ ∩a
証明は省きますが、このようにして得られた無限集合 ωa は、
元の無限集合 a のとり方によらずただ1つに定まります。
すなわち、異なる2つの無限集合 a, b から、
上記の手順で集合 ωa, ωb を作ると、
ωa ＝ ωb になります。
ωa は a の選び方に寄らず確定しますので、
これを単に ω と書き、
自然数全体の集合と呼びます。
集合論では、0 も自然数に含めて考えます。
いままでに、ZFC 公理系における自然数の定義を述べました。
この定義の仕方では、自然数 0, 1, 2, 3, … などはそれぞれが集合になっていますし、
0 ⊂ 1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ … という包含関係まであります。
このような性質は、普段我々が自然数として使っているものとは若干異なるイメージがあります。
しかしながら、ZFC 公理系で作った自然数全体の集合 ω は、
集合論が確立する以前から、自然数全体が満たすべきであるとされる条件を満たしていることが証明されています。
この条件は Peano の公理と呼ばれる以下の4つの命題です。
- x ∈ a ならば x' と表される a の元が確定する。
- a の元 n で、a の任意の元 x に対して x' ≠ n となるものが存在する。
- b ⊆ a、n ∈ b かつ ∀a(x∈b → x'∈b) が成り立てば b ＝ a。
- x ∈ a、y ∈ a かつ x' ＝ y' ならば x ＝ y。
実際、集合論が確立する以前は、自然数全体の集合を定める公理としてこの Peano の公理を使っていました。
（だから定義や命題、条件という言い方ではなく、公理という名前が付いている。）
集合論的に定義した自然数には、以下のようにして順序関係を与えることができます。
- m ⊆ n のとき、m ≦ n。
- m ⊂ n のとき、m ＜ n。
例えば、1 ＝ {0}, 2 ＝ {0, 1}, 3 ＝ {0, 1, 2} ですから、0 ⊂ 1 ⊂ 2 ⊂ 3 となり、0 ＜ 1 ＜ 2 ＜ 3 となります。
順序関係に関して、以下の命題が成り立ちます。
- m ≦ n ∧ n ≦ m ⇒ m ＝ n
- l ≦ m ∧ m ≦ n ⇒ l ≦ n
- 任意の自然数 m, n に関して、m ＜ n, m ＝ n, m ＞ n のいずれか1つが必ず、そしてただ1つのみが成り立つ。
自然数の和は写像として定義します。
まず、m を自然数として、m を固定すれば、以下の条件を満たすような写像 αm が一意的に定まります。
αm(0) ＝ m
∀n ⊂ ω, αm(n＋) ＝ αm(n)＋
そして、この写像 αm により得られる値 αm(n) を m と n の和（sum）と呼び、
m ＋ n で表します。
自然数の和には、以下のような性質があります。
- a ＋ b ＝ b ＋ a （交換法則）
- a ＋ (b ＋ c) ＝ (a ＋ b ) ＋ c （結合法則）
和と同様に、積は以下のような写像 μm を使って定義します。
μm(0) ＝ 0
∀n ⊂ ω, μm(n＋) ＝ μm(n) ＋ m
そして、この写像 μm により得られる値 μm(n) を m と n の積（product）と呼び、
m × n で表します。
また、× は通常、省略して mn と書く場合が多いです。
自然数の積には、以下のような性質があります。
- a × b ＝ b × a （交換法則）
- a × (b × c) ＝ (a × b ) × c （結合法則）
また、和や順序関係も含め、以下のような性質があります。
- a (b ＋ c) ＝ ab ＋ ac （分配法則）
- a ≧ b ∧ c ≧ d ⇒ a ＋ c ≧ b ＋ d
- a ≧ b ∧ c ≧ d ⇒ ac ≧ bd
同様に、
πa(0) ＝ 1
∀n ⊂ ω, πa(n＋) ＝ a πa(n)
という写像 πa により、自然数の冪を定義できます。
値 πa(n) を a の n 乗もしくは n 冪（power）と呼び、
an で表します。
自然数の冪には、以下のような性質があります。
- am ＋ n ＝ am an
- am n ＝ (am)n
自然数に、上述のような定義により和や積を与えたものは代数系になります。
ただし、自然数は和に関しても積に関しても可換半群（逆元を持たない）になります。
集合論では自然数全体の集合を ω と表すといいましたが、
数論などの分野では N （太字ブロック体の N）で表すことが多いです。
これにあわせて、集合論でも、代数系として自然数全体の集合を考える場合には N を使います。
また、N と書く場合には 0 を含めないのが一般的です。
0 を含める場合には N などと表します。
すなわち、
N ＝ {ω, {＋, ×}}
N ＝ {ω － {0}, {＋, ×}}
＝ N － {0}
さらに、和のみ、もしくは、積のみを考える場合には、以下のように表します。
N＋ ＝ {ω, ＋}
N× ＝ {ω, ×}