自然数は加法に関して可換半群（足し算はできるが引き算はできない）になります。
a ＋ b ＝ 0 となるような自然数の組 a, b は a ＝ b ＝ 0 以外に存在しません。
整数は、自然数に対して負の数の概念を付け加ええることで、
加法に関して可換群となるようにしたものです。
これは、自然数 a, b から“a － b という形で表される数”を作ることで実現できます。
“a － b という形で表される数”というものをきちんと説明するためには、
まず、同値関係や商集合というものについて説明する必要があります。
集合 A からそれ自身への対応(A×A, f) （または、単にそのグラフ f）を A の上の関係（relation）とも呼びます。
A の元 x, y が (x, y) ∈ f のとき、
「x, y は f により関係付けられる」といい、
x y と表します。
（f が自明な場合には、単に x ～ y 表す。）
ある関係 f が以下の条件を満たすとき、
同値関係（equivalence relation）といい、
2つの元 x, y が同値関係を持っているとき、
x, y は互いに同値（equivalent）であるといいます。
- x ～ x （反射律）
- x ～ y ⇔ y ～ x （対称律）
- x ～ y ∧ y ～ z ⇔ x ～ z （推移律）
同値というのは、文字通り、「互いに同じ値であるとみなせる」ということです。
「集合として互いに等しい」、すなわち、x ＝ y という関係も同値関係の一種で、
相等関係（equality relation）と呼びます。
例えば、「2で割ったあまりが等しい」という関係は同値関係になります。
f ＝
{(x, y) ∈ N×N |
x ≡ y (mod 2)}
逆に、順序関係
f ＝
{(x, y) ∈ N×N |
x ≦ y
}
などは同値関係にはなりません。
順序関係は、反射律および推移律は満たしますが、対称律を満たしていません。
互いに同値関係にある元同士は、全く同じ物であるとみなすことができます。
このとき、全く同じ物とみなせる元同士を代表するような物を1つ選ぶことを考えます。
同値関係 (A × A, f) が与えられたとき、集合 A のある元 x に対して、
A の部分集合 f(x) を x の同値類（equivalent class）または代表元と呼びます。
例えば、
元 y, z が x と互いに同値であるとき、
x ＝ {x, y, z} という集合によって、
同値な3つの元 x, y, z を代表させようということです。
具体例を1つ挙げると、0から8までの自然数に対して、
「3で割ったあまりが等しいとき互いに同値」という同値関係を導入したとします。
A ＝ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
f ＝
{(x, y) ∈ A×A |
x ≡ y (mod 3)}
このとき、
0 ～ 3 ～ 6、
1 ～ 4 ～ 7、
2 ～ 5 ～ 8 という同値関係が成り立ち、
0 ＝ {0, 3, 6}、
1 ＝ {1, 4, 7}、
2 ＝ {2, 5, 8}
という3つの同値類に分類されることになります。
集合 A と、A 上の同値関係 f が与えられたとき、
A 上の f による同値類の集合を、
A の f による商集合（quotient set）と呼び、A / f と表します。
すなわち、商集合とは、
A / f ＝
{
X ∈ P(A) |
∃x
(
x ∈ A ∧ X ＝ f(x))}
と定義される集合です。
例えば、先ほどの例であげた集合および同値関係
A ＝ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
f ＝
{(x, y) ∈ A×A |
x ≡ y (mod 3)}
を用いて商集合を作ると、
A / f ＝
{0, 1, 2}
となります。
ただし、
0 ＝ {0, 3, 6}、
1 ＝ {1, 4, 7}、
2 ＝ {2, 5, 8} です。
整数（integer number）は以下のような手順で定義します。
- 自然数の対 (a, b) ∈ ω×ω を用意する。
- 2つの対 m ＝ (a, b), n ＝ (c, d) に対して、「a ＋ d ＝ b ＋ c のとき互いに同値」という同値関係を定める。
- この同値関係を使って商集合 Z を作る。
- この Z を整数と呼ぶ。
すなわち、
ω2 ＝ ω×ω
f ＝
{(m, n)
∈ ω2 × ω2
|
m ＝ (a, b),
n ＝ (c, d),
a ＋ d ＝ b ＋ c
}
Z ＝ ω2 / f
となります。
このとき、自然数の対 (a, b) を a － b とも書きます。
同値関係 f は、要するに「自然数の対の差が等しければ同値」ということになります。
具体例を挙げると、
0 － 3 と 1 － 4 と 2 － 5 は互いに同値ということで、
直感的な整数のイメージ通りのものになっています。
同値類 f(a － 0) は自然数 a と1対1に対応するので、
これを a と同一視することができ、
自然数は整数の部分集合であるとみなすことができます。
そこで、同値類 f(a － 0) を単に自然数 a で表します。
また、同値類 f(0 － a) を －a と表します。
－a は a の加法に関する逆元になります。
すなわち、a ＋ (－a) ＝ 0 が成り立ちます。
整数の順序関係は
a － b ∈ N ⇔ a ＞ b
a － b ＝ 0 ⇔ a ＝ b
b － a ∈ N ⇔ a ＜ b
で定義します。
この順序関係は、自然数の順序関係の自然な拡張になっていて、以下の命題が成り立ちます。
- m ≦ n ∧ n ≦ m ⇒ m ＝ n
- l ≦ m ∧ m ≦ n ⇒ l ≦ n
- 任意の整数 m, n に関して、m ＜ n, m ＝ n, m ＞ n のいずれか1つが必ず、そしてただ1つのみが成り立つ。
2つの整数 m ＝ (a, b), n ＝ (c, d) の間の和・積を、
m ＋ n ＝ (a ＋ c, b ＋ d)
m × n ＝ (ac ＋ bd, ad ＋ bc)
で定義します。
これらは自然数の和・積の自然な拡張であり、結合法則・交換法則・分配法則などが成り立ちます。
整数は、和に関して可換群、
積に関して可換半群になります。
また、和と積の間に分配法則が成り立つので、整数は環となります。
環であることを明示的に表すために、整数を整数環と呼ぶこともあります。
ときどき、(－1)×(－1) はなぜ 1 になるのかという疑問の声を耳にしますが、
これも上の定義を使うと自明になります。
－1 ＝ (0, 1) なので、
(－1)×(－1)
＝ (0, 1)×(0, 1)
＝ (0×0＋1×1, 0×1＋0×1)
＝ (1, 0)
＝ 1