濃度（cardinality）とは集合の元の数のことを指す。 有限集合の場合、元の数は自然数となる。 無限集合の元の数は自然数で表すことができないので、 数の概念を拡張する必要がある。
無限集合の濃度を表すために、自然数を一般化した概念として、 基数（cardinal number）とも呼ばれるものがある。
・濃度(基数) 順序数 基数 アレフ0 ・濃度 有限集合の場合、元の数が等しければ互いに同型になる。 （そもそも、「元の数」というもの自体が「ある集合と同型な自然数」として定義される） そこで、無限集合の場合にも、集合として同型なものの元の数は同じであると考えることにする。 無限集合に対して「元の数」というのも変なので、「濃度が等しい」という言い方をする。 例えば、自然数全体の集合ωと偶数全体の集合2ωは、集合として同型。 （f(x)＝2x というω→2ωの写像を使って1対1に対応する。） （2ωはωの部分集合であるにもかかわらず、同型となる。これは無限集合に特有の性質。） したがって、ωと2ωの濃度は同じ。 すなわち、有限集合の場合、真部分集合の濃度は、元の集合の濃度よりも小さくなるが、 無限集合の場合は必ずしもそうならない。 ・順序集合 自然数のように順序構造を持つ集合を順序集合という。 順序関係≦ とは、以下のような条件を満たす2項関係を指す。 反射律: 任意の元 a について a ≦ a 。 推移律: a ≦ b かつ b ≦ c ならば a ≦ c 。 反対称律: a ≦ b かつ b ≦ a ならば a ＝ b 。 順序関係が定義できるような集合を順序集合という。 とくに、2つの元a, bに対して、a≦b または b≦a のいずれか一方が必ず成り立つとき「全順序集合」、 任意の部分集合が最小値を持つような順序集合を「整列集合」という。 2つの順序集合の間に順序構造を保ったまま1対1に対応するような写像が存在するとき、 この2つの順序集合は同型であるという。 （または、順序集合として同型であることが分かるように、順序同型ということもある） A と B が順序同型のとき、2つの順序集合は「順序型(order type)が等しい」という。 A の順序型を ord(A) で表す。 有限集合では、元の数が等しい集合同士をまとめて、その代表として1つの自然数で表すことが出来る。 これと同様に、順序集合 A と同型な集合同士をまとめて、その代表を ord(A) で表せると考える。 ・順序数 整列集合の順序型を順序数と呼ぶ。 ようするに、 互いに同型な有限集合を1つの自然数で代表させるのと同じく、 互いに同型な整列集合の代表として順序数というものを考える。 順序集合、順序数はそれぞれ独立したページにした方がいいかも。 順序数の和・積の定義だけで結構な量の文章になるし。 ・基数 集合 A と濃度の等しい最小の順序数を基数（cardinal number）と呼ぶ。 （濃度と基数を区別する必要はあまりないかも。） 有限集合の基数は自然数になる。 自然数全体の集合の基数をアレフ0で表す。 アレフ0は最小の無限基数である。 整数や有理数は代数的構造は自然数と異なるけど、 集合的には同型になるので、これらの基数もやっぱりアレフ0になる。 ↑ 自然数と同型になるような集合は 1, 2, 3, .... と番号を振っていくことが出来るので、 可算（countable）集合と呼ばれる。 そのため、アレフ0は可算濃度と呼ばれることもある。 実数は「有理数列の部分集合」として定義されることから想像できるように、 その濃度は 2^(アレフ0) になる。 ↑ 有理数列というのは、自然数→有理数の写像であると考えることが出来る。 実数の濃度は連続体濃度と呼ばれる。 連続体濃度 2^(アレフ0) をアレフで表すこともある。 アレフ0 ＜ 2^(アレフ0) すなわち、可算濃度＜連続体濃度。 可算濃度と連続体濃度の間に別の基数が存在するかどうかは未だ分からない。 （連続体仮説） ↑ ZFC公理系の範囲では肯定することも否定することも不可能なんだっけ？