商体・剰余体

概要

「有理数の定義」 において、整数から有理数を作ったように、 環から体を作ることができます。 環から作られる体には、商体と呼ばれるものや剰余体と呼ばれるものがあります。

商体

執筆予定

同値関係、商体（整数→有理数、整式→有理式）
	環 R の元 a, b から a/b の形で表されるような数の集合を作ると、これも環になる。
	↑のようにして作る環は、特に、R が整域のとき、体になる。
	（商体（quotient field）と呼ぶ。）

剰余体

執筆予定

イデアル
	環 R の空でない部分集合 A にが
		(1) A は加法について閉じていて、A は R＋ の部分群になっている
		(2) R の任意の元 x、A の任意の元 a に対して ax ∈ A、xa ∈ A
	を満たすとき、A を R のイデアルという。

	R 自身および {0} は自明なイデアル。

	整数のイデアルは mZ ＝ {mx | x ∈ Z} の形で表される。

	素イデアル   … R の元 a, b について、ab ∈ A ⇒ a∈A ∨ b∈A
	極大イデアル … R の任意のイデアル B に対し、A ⊂ B ⊂ R ⇒ A＝B ∨ B＝R

	極大イデアルは素イデアルである。
	整数のイデアル mZ は m が素数のとき、極大イデアルとなる。

剰余環
	環 R のイデアル A が与えられたとき、
	同値関係を「x － y ∈ A のとき x ≡ y」で定め、
	商環 R/A を作ったものを A による剰余環と呼ぶ。

	x の同値類を x ＋ A とか、(x)A で表す。
	加算および乗算は
		(x)A ＋ (y)A ＝ (x ＋ y)A
		(x)A × (y)A ＝ (x × y)A
	で定義。

剰余体
	素イデアルによる剰余環は整域に、
	極大イデアルによる剰余環は体になる。
	（剰余体（residual field）と呼ぶ）

	整数→整数の剰余体（「環・体」の例で挙げたもの）
	ガロア体上の多項式環→ガロア拡大体

執筆予定

・環→体を作る
	商体
	剰余体