静磁場

静磁場中のマクスウェルの方程式

時間的に変化しない磁場を静磁場といいます。 静磁場中では、時間微分に関する項が0になるので、マクスウェルの方程式は

と表せます。

ベクトルポテンシャル

静磁場中でのマクスウェルの方程式で、Bは∇・B = 0を満たすソレノイダル場なので、ベクトルポテンシャルAが定義でき、

と表せます。 電磁気学ではベクトルポテンシャルを使うのは磁場だけなので、ただ単にベクトルポテンシャルと言えば磁場のベクトルポテンシャルのことを指します。 また、電束密度Bが２つのベクトルポテンシャルA₁, A₂によって表されているとすると

となり、A₁ − A₂は保存場となっているので ∇ψ = A₁ − A₂ となるスカラー場ψが定義でき、ベクトルポテンシャルには このスカラー場ψの勾配の分だけの不定性が残るということになります。 このように、ベクトルポテンシャルには任意性があるので、∇・A = 0を満たすようにすることが出来ます。 通常、静磁場のベクトルポテンシャルはこのように発散が0になるように取ります。

静磁場におけるベクトルポテンシャルの求め方

B = ∇×A, ∇・A = 0をアンペアマクスウェルの法則に代入すると ∇×(∇×A) = ∇・(∇A) − ΔA = − ΔAより、

が得られます。 この方程式を解けば静磁場の電位を求めることが出来ます。 具体的には、

の解U = −

1

4π|r|

と−μJ との畳み込み積分

つまり、

と表される。 ただし、r = (x, y, z), r' = (x−ξ, y−η, z−ζ), r = |r'|である。

静磁場における磁場の求め方

磁場HはH =

1

μ

B =

1

μ

∇×Aで与えられ、ベクトルポテンシャルAはA(x,y,z) =

1

4π

∫

J(ξ,η,ζ)

|r'|

DξDηDζによって求められるので、磁束密度Bは、

によって求められる。 ただし、i_rはr'方向を向く単位ベクトル、すなわちi_r =

r'

|r'|

である。

特に導線に電流が流れているときにはJdV = dl = i_lDlとなるので、この式は

となる。 ただし、この線積分は導線に沿った経路上での線積分で、i_lは電流の流れる向きを向く単位ベクトルである。 この式をビオ・サバールの法則という。