電荷も電流もない空間上ではマクスウェルの方程式の微分形は以下のようになります。
| (i) | ∇×E = −μH |
| (ii) | ∇×H = σE+εE |
| (iii) | ∇・D = 0 |
| (iv) | ∇・B = 0 |
ここで、この式をEだけ、
もしくはHだけで表すことを考えます。
そのために、まず(i)式の両辺の回転を取ります。
ここで、
∇×(∇×E) = ∇∇・E − ΔE
であることおよび、(ii)式、(iii)式を代入すると、
という関係式が得られます。
同様に、(ii)の回転を取り、(i)式、(iv)式を代入すると、
という関係式が得られます。
特に、σ = 0すなわち、伝導電流が流れないとき、
上式は
となります。
この式は波動方程式と呼ばれ、速度v = (εμ)−1/2で伝播する波動を表す式です。
すなわち、電磁場は波動として空間中を伝播するということになります。
この、電磁場の作る波動を電磁波といいます。
ここで、話を簡単にするために、この微分方程式のもっとも単純な形の解
を考えます。
ただし、E0はEの初期値で、
ωはこの波動の角周波数、kは波数で、
= = εμ
という関係式が成り立ちます。
この式は、進行波と呼ばれるもので、Eは常にE0と同じ方向(もしくは、その逆向き)を向き、kの方向に速度vで伝播していきます。
さて、このとき、(i)式から磁場Hを求めると、
H = −∫∇×E0cos(ωt−kx)Dt = −∫k×E0sin(ωt−kx)Dt = cos(ωt−kx)
ここで、
= εμ
であることを用いると、
という関係式が得られます。
ただし、ikはkの方向(すなわち波動の進行方向)を向く単位ベクトルで、ηはη = ()1/2で、固有インピーダンスと呼ばれています。
同様に
H = H0cos(ωt−kx)
とおいて、(ii)式から電場Eを求めると、
という関係式が得られます。
そして、この2つの式からE, H, kは互いに直行していることが分かります。