静電場

静電場中のマクスウェルの方程式

時間的に変化しない電場を静電場といいます。静電場中では、時間微分に関する項が0になるので、マクスウェルの方程式は

微分形

積分形

不連続面での境界条件

∇×E = 0

∇・D = ε∇・E = ρ

∮

E・dl = 0

∮

D・dS = ε∮

E・dS = ∫

ρ・dV

n×(E₁ − E₂) = 0

n×(D₁ − D₂) = ξ

と表せます。

静電場中でのマクスウェルの方程式で、Eは∇×E = 0を満たす保存場なので、スカラーポテンシャルφが定義できて

E = −∇φ

この電場のスカラーポテンシャルφを電位といいます。スカラーポテンシャルの性質から、点Oを基準とした点Pでの電位φ_Pは

φ_P = ∫

E・dl

と表せます。

E = −∇φを電場に関するガウスの法則に代入すると

Δ φ = −

が得られます。この方程式を解けば静電場の電位を求めることが出来ます。具体的には、

の解U = −
1
4π|r|
と−
ρ
ε
との畳み込み積分

φ = −

つまり、

φ(x,y,z) = −
1
ε
∫


ρ(ξ,η,ζ)U(x−ξ,y−η,z−ζ)D ξ D η D ζ =
1
4πε
∫


ρ(ξ,η,ζ)
|r'|
D ξ D η D ζ =
1
4πε
∫


ρ
r
dV

と表される。ただし、r = (x, y, z), r' = (x−ξ, y−η, z−ζ), r = |r'|である。

電場EはE = −∇φで与えられ、電位φはφ(x,y,z) =
1
4πε
∫

ρ(ξ,η,ζ)
|r'|
D ξ D η D ζによって求められるので、電場Eは、

E = −
1
4πε
∇∫


ρ(ξ,η,ζ)
|r'|
D ξ D η D ζ = −
1
4πε
∫


∇
ρ(ξ,η,ζ)
|r'|
D ξ D η D ζ =
1
4πε
∫


ρ(ξ,η,ζ)r'
|r'|³
D ξ D η D ζ =
1
4πε
∫


ρi_r
r²
dV

によって求められる。ただし、i_rはr'方向を向く単位ベクトル、すなわちi_r =
r'
|r'|
である。