超関数

概要

簡単にまとめます。 詳細はいずれ。

超関数は、関数を拡張した概念で、大雑把な言い方をすると以下のような特徴があります。

• ある点で無限大の値を持つ物も定義できる。
• 滑らかでない関数でも無理やり微分できる。

基本アイディア

「無限大の値」なんてものは実際には存在しないので、 2つの超関数の等値性を以下のように定義します。

「2つの超関数f, gが、任意の区間(a, b)で ∫

b

a

f(t)dt ＝ ∫

b

a

g(t)dt という関係が成り立っているとき、互いに等しいものとする。」

このように定義することで、ある点で無限大の値を持つ（要するに、値が発散する）関数でも、積分値さえ有限ならばちゃんとした意味を持つことになります。

ただし、このように定義したことによって、関数としては異なるものであっても、超関数としては同じものになってしまうこともあります。 例えば、以下の2つの関数f, gは関数論的には相異なるものですが、超関数論的には同じものになります。 （このような関数以外にも、可算無限個の点で異なる値を持つ2つの関数は超関数論的には同等。）

ディラックのδ関数

超関数の中で最も有名なものとして、ディラックのδ関数があげられます。 δ関数は、（口語的に述べると）以下のような性質を持つ超関数です。

• δ(t)はt≠0のとき0。
• δ(0)は無限大。

「基本アイディア」 で述べた定義を使ってこの言葉を置き換えると、 δ関数δ(t)は以下の条件を満たすような超関数になります。

δ関数は、通常の関数の極限として定義することも出来ます。 定義の仕方は1通りではありませんが、以下に代表的なものをいくつか列挙します。

1つ目は正規分布の密度関数に対して分散を0に限りなく近づけたもの、 2つ目は面積1の矩形を限りなく細くしていったもの、 3つ目はフーリエ変換を用いてδ関数を表したものになっています。

厳密な定義

詳細は省略します（余裕があれば追加します）。 いくつか異なる定義の仕方がありますが、 詳しく知りたい人は以下のキーワードで検索してみてください。

• Schwartzの超関数（分布: distribution）
• 超分布（ultradistribution）
• 佐藤の超関数（hyper function）

大雑把に説明すると以下のような感じで定義します。

• （導関数が滑らかでないものも含め）関数を無理やり微分出来るように微分演算を拡張する。
• 線形な汎関数（実連続関数→実数への写像）として定義する。

1つ目の方法に関しては、例えば、

とすると（このfは滑らか）、その導関数は形式的に以下のようになります。

（ただし、h(t)、δ(t)はそれぞれヘヴィサイドの単位階段関数およびディラックのδ関数。） このような微分が許容されるように、微分演算を拡張してしまおうというのが1つ目の方法の発想です。

一方、2つ目の方法に関しては、例えば、 任意の関数φに対して、

というような汎関数（関数fから実数値T(f)を得る関数）が定義できます。 この逆の発想で、先に汎関数Tを定義して、それに対応する関数φを形式的に考えることで、 通常の関数の概念を拡張しようというのが2つ目の方法です。 （この発想が Schwartz の超関数。）

例を挙げると、

というような汎関数H, Dがそれぞれヘヴィサイドの単位階段関数およびディラックのδ関数になります。